非齐次方程组解的线性相关性

TIPS：本文共有 433 个字，阅读大概需要 1 分钟。

非齐次线性方程组的特解η与它对应的齐次线性方程组(有的教材称为“导出组”)的基础解系是线性无关的。

下面用反证法证明它：

假设η与ξ1，ξ2，……，ξs线性相关

∵ξ1，ξ2，……，ξs线性无关

∴η可由ξ1，ξ2，……，ξs线性相表示

∴存在一组实数k1，k2，……，ks，使得

η=k1·ξ1+k2·ξ2+……+ks·ξs

两边同时乘以A

Aη=k1·Aξ1+k2·Aξ2+……+ks·Aξs

Aη=b

Aξ1=0

Aξ2=0

……

Aξs=0

∴b=0

显然矛盾。

∴假设错误

∴η与ξ1，ξ2，……，ξs线性无关。

进而，η与η+ξ1，η+ξ2，……，η+ξs线性无关

而这些向量都是Ax=b的解

所以，Ax=b有n-r+1个线性无关的解。

非齐次方程组解的线性相关性

非齐次线性方程组的解与对应的齐次线性方程组解的个数关系一样多。齐次线性方程组解代入方程得0，就不是非齐次线性方程组。非齐次线性方程组的解是对应的齐次线性方程组解的加一个特解。所以有一个齐次线性方程组解，就有一个非齐次线性方程组的解。

小编精心整理的这篇内容：非齐次方程组解的线性相关性，如果你看到此处请一定要收藏哦！