stay doing sth还是to do

都可以

1.

stay doing sth“继续/重复做某事”(正在做)。

2.

stay (up)to do sth，准备继续去做(还没做)。

stay 有逗留，保留，停留这几个意思。

stay to do sth.留下来做……。

例如:

He stayed to take care of the baby.他留下来照顾宝宝。

它的常用短语stay up 是不及物动词短语，意为熬夜。

例如：

stay up doing sth 熬夜做……doing 这里是一个伴随状语。

例如：I stayed up doing homework last night.昨晚我熬夜写作业。

而stay up to do sth这里to do 是目的状语，表示你的目的。

例如：She has to stay up to write the articles.为了写这些文章，她不得不熬夜。