高斯解决的千年难题是什么

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高斯在完成作业的时候发现，老师布置的最后一道题怎么感觉比平日里难很多，他以为老师只想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答问题。

题目是让用尺规画出正十七边形，高斯并不知道这道题难倒过阿基米德，还以为是老师能解开的题目，于是不服输的他用了一个晚上，终于将正十七边形的画法推导出来。

高斯先通过三等分角判定方程，建立了基本等价方程式，初步获得解决方案后，他又建立了等价的一元二次方程， 最终只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七边形的尺规作图法。

高斯的另一成就——高斯定理

用高斯的方法，主要是将 2π/17这个非特殊角度，通过转换，用特殊角度的组合表示。其次就是对于三角函数的恒等变换，这一步工作看似相当基础，实则关系重大，高斯正是通过这一系列繁杂的恒等变换，层层推进证明出正十七边形的可作图。这是高斯一个晚上完成的结果，当它第二天顶着黑眼圈去上课交作业时，把老师惊呆了，这个2000年无人解答的问题，到高斯手里一个晚上就出来了。

值得注意的是，高斯并没有直接画圆，他只证明了正十七边形可以用尺规作图法。这就好比，建造一座大楼，高斯是设计师，但他不参与修建过程。后世在高斯证明的引导下，画出了正十七边形。

步骤如下：先画一个圆O，作两垂直的直径AB、CD。 然后在OA上作一个E点，要使O点到E点的距离是半径的四分之一，再将C点和E点连接起来。将∠CEB平分线得到平分线EF再将∠FEB平分线，平分线为EG，与CO交于P点。作∠GEH，度数45°，并且交CD于Q点。

以CQ为直径作圆，与OB交于K。再以P为圆心，PK为半径，画一个圆，与CD交于L与M两点。分别过M、L作CD的垂线，与圆O于N与R。两点作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份。

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